一、選擇題(本大題共10小題，每小5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知an=，設(shè)am為數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則m=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：作出函數(shù)an=1+，nN*的圖象可得a8是數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，故m=8.
答案：B
2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=( )
A.(n+1)3 B.(2n+1)2
C.8n2 D.(2n+1)2-1
解析：當(dāng)n=1時(shí)，4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1，解得a1=8，當(dāng)n≥2時(shí)，由4(Sn+1)=，得4(Sn-1+1)=，兩式相減得，4an=-，即=，所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3，經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也符合，所以an=(n+1)3.
答案：A
3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=+，數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=f2(n)-f(n)，若其前m(mN*)項(xiàng)和為-，則m的值為( )
A.16 B.17 C.18 D.19
解析：由題意[f(x+1)-]2=f(x)-f2(x)，即f2(x+1)-f(x+1)+=f(x)-f2(x)，所以-≤f2(n)-f(n)=an≤0，所以an+1+=-an，即an+1+an=-.若m為偶數(shù)，則其前m項(xiàng)和為-×=-，解得m=N*，所以m不可能是偶數(shù)，排除A、C;若m=17，則a17=S17-S16=-+×8=-，符合題意;若m=19，則a19=S19-S18=-+×9=>0，不符合題意，故排除D，選擇B.
答案：B
4.在等比數(shù)列{an}中，a1=8，a4=a3·a5，則a7=( )
A.4 B. C.8 D.
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a=a3·a5，又a4=a3·a5，所以a=a4，解得a4=1(a4=0舍去)，又a1=8，所以8q3=1，得到q=，所以a7=8×6=，選D.
答案：D
5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(nN*)，其前n項(xiàng)和Sn=，則雙曲線(xiàn)-=1的漸近線(xiàn)方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析：an==-，則Sn=1-+-+-+…+-=1-，由Sn==1-，可得n=9，則雙曲線(xiàn)方程為-=1，其漸近線(xiàn)方程為y=±x=±x=±x，選C.
答案：C
6.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a5=6，則S5=( )
A.5 B.7 C.10 D.15
解析：由a1+a3+a5=6可得3a3=6，故a3=2，S5===5a3=10，選C.
答案：C
7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a=2Sn+n+4，且a2-1，a3，a7恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則a1=( )
A. B.1 C.2 D.4
解析：因?yàn)閍=2Sn+n+4，所以a=2Sn-1+n-1+4(n≥2)，兩式相減得a-a=2an+1，所以a=a+2an+1=(an+1)2，故an+1-an=1，又a=(a2-1)a7，所以(a2+1)2=(a2-1)(a2+5)，解得a2=3，又a=2a1+1+4，得到a1=2，選C.
答案：C
8.已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=f，nN*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A.an=n+ B.an=n-
C.an=n+ D.an=n+
解析：依題意可得an+1=，則有an+1=an+，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則an=1+(n-1)×=n+，故選A.
答案：A
9.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a3=8a2，且a1與a2的等差中項(xiàng)為12，則S5的值為( )
A.496 B.33 C.31 D.
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a3=a，又a1a3=8a2，故a=8a2，解得a2=8(a2=0舍去)，因?yàn)閍1與a2的等差中項(xiàng)為12，所以a1+a2=24，故a1=16，所以公比q=，故S5===31，故選C.
答案：C
10.已知an=sin，Sn=a1+a2+…+an，nN*，則在S1，S2，…，S2016中，值為正數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.2 016 B.2 015
C.1 003 D.1 008
解析：依題意知，a1≥0，a2≥0，…，a50≥0，a51≤0，a52≤0，…，a100≤0，考慮到y(tǒng)=的遞減性及正弦函數(shù)的周期性，有a1+a51>0，a2+a52>0，…，故S1，S2，…，S100均為正數(shù)，以此類(lèi)推，可知S1，S2，…，S2016均為正數(shù)，故選A.
答案：A
二、填空題(本大題共5小題，每小5分，共25分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)
11.已知在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=0，若對(duì)任意的正整數(shù)n，m(n>m)，有a-a=an-man+m，則a2 015=________.
解析：令n=2，m=1，則a-a=a1a3，得a3=-1;令n=3，m=2，則a-a=a1a5，得a5=1;令n=5，m=2，則a-a=a3a7，得a7=-1，所以猜想當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，{an}為1，-1,1，-1，…，所以a2 015=-1.
答案：-1
12.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a4+a9=24，則·的最大值為_(kāi)_______.
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2+a4+a9=3a1+12d=24，即a1+4d=8，所以==a1+d=8-4d+d，則=8-4d+d=8-，=8-4d+d=8+，·==64-≤64，當(dāng)且僅當(dāng)d=0時(shí)取等號(hào)，所以·的最大值為64.
答案：64
13.設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，則=________.
解析：若a4，a3，a5成等差數(shù)列，則有2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，因?yàn)閝≠1，a1≠0，所以2=q+q2，解得q=-2，則==1+q2=1+(-2)2=5.
答案：5
14.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn=an+1-an(nN*)，若b3=-2，b10=12，則a8=________.
解析：因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列，b3=-2，b10=12，故b10=-2+7d=12，解得d=2，b3=b1+2×2=-2，解得b1=-6，故bn=-6+(n-1)×2=2n-8，所以an+1-an=2n-8，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(2×1-8)+(2×2-8)+…+[2×(n-1)-8]=n(n-1)-8(n-1)=n2-9n+8(n≥2)，所以an=n2-9n+8+3=n2-9n+11，故a8=82-9×8+11=3.
答案：3
15.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且各項(xiàng)均不為0，Tn為前n項(xiàng)和，T2n-1=a，nN*，若不等式+1≥對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則t的取值范圍為_(kāi)_________________.
解析：因?yàn)閍n=a1+(n-1)d，Tn=na1+d，所以T2n-1=(2n-1)a1+d=(2n-1)[a1+(n-1)d]=(2n-1)an，又T2n-1=a，所以(2n-1)an=a，又an≠0，故an=2n-1，因?yàn)?1≥對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，即+1≥.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有(2n+1)≥-t對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則由(2n+1)≥-t可得+2n+9≥-t，設(shè)f(x)=+2x，f′(x)=2-，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí) ，f(x)取得最小值，所以當(dāng)n=1或2時(shí)，+2n+9取得最小值，即15≥-t，所以t≥-15;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 有(2n+1)≥t對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，則由(2n+1)≥t可得2n--7≥t，設(shè)g(x)=2x-，g′(x)=+2>0，所以當(dāng)n=1時(shí)，2n--7取得最小值，即t≤-9.綜上可得-15≤t≤-9.
答案：-15≤t≤-9
