2017年甘肅高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提升訓(xùn)練（九）

【例1】　若直線3x＋4y＋m＝0=0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_____________.

 

【分析】　利用點到直線的距離來解決.

 

【解】　圓心為(1,－2)，要沒有公共點，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑，得

 

d＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42＞r＝1，即|m－5|＞5，m∈(－∞,0)∪(10,＋∞).

 

【點評】　解答此類題型的思路有：①判別式法(即方程法)，②平面幾何法(運用d與r的關(guān)系)，③數(shù)形結(jié)合法.由于圓的特殊性(既是中心對稱圖形又是軸對稱)，因此解答直線與圓的位置關(guān)

系時一般不利用判別式法，而利用平面幾何法求解，即利用半徑r、圓心到直線的距離d的求解.

題型二　圓錐曲線間相互依存

拋物線與橢圓、雙曲線的依存關(guān)系表現(xiàn)為有相同的焦點、準(zhǔn)線重合、準(zhǔn)線過焦點等形式，只要對三種圓錐曲線的概念與性質(zhì)掌握得好，處理這類問題的困難不大.

 

【例2】　(2009屆大同市高三學(xué)情調(diào)研測試)設(shè)雙曲線以橢圓x225＋y29＝1長軸的兩個端點為焦點，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 （    ）

 

A．±2 B．±43 C．±34 D．±12

 

【分析】　根據(jù)橢圓的兩個端點坐標(biāo)確定雙曲線的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的焦點得到雙曲線的準(zhǔn)線方程，由此得到關(guān)于雙曲線關(guān)于a、c的值，進而得到b的值，再進一步求得漸近線的斜率.

 

【解】　由橢圓方程知雙曲線的焦點為(5，0)，即c＝5，又同橢圓的焦點得a2c＝4，所以a＝25，則b＝c2－a2＝5，故雙曲線漸近線的斜率為±ba＝±12，故選D.

 

【點評】　本題主要考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)幾何量之間的相互關(guān)系.本題主要體現(xiàn)為有相同的焦點、準(zhǔn)線重合、準(zhǔn)線過焦點等形式的圓錐曲線間交匯，解答時主要根據(jù)這兩種曲線的相同點建立關(guān)于基本量a、b、c、p之間的方程，再通過解方程求出相關(guān)基本量值，進而求取相關(guān)的問題.

題型三　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查三種題型：一是判斷已知直線與已知曲線的位置關(guān)系；二是根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線或曲線方程的參數(shù)問題；三是求直線與圓錐曲線相交時所得弦長、弦的中點及軌跡問題等.解答此類題型的一般方法化為二次方程，利用判別式與韋達定理來求解.

 

【例3】　(2009屆東城區(qū)高中示范校高三質(zhì)量檢測題)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長為23．(Ⅰ)求雙曲線C的方程；(Ⅱ)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；(Ⅲ)在（Ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍．

 

【分析】　第(1)小題利用直接法求解；第(Ⅱ)小題將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，然后利用判別式及韋達定理求解；第(Ⅲ)小題須利用"垂直"與"平分"聯(lián)系兩條直線斜率間的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式建立b關(guān)于斜率k的表達式，結(jié)合第(Ⅱ)小題k的范圍求解.

 

【解】　(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，

 

由已知，得a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故雙曲線方程為x23－y2＝1.

 

(Ⅱ)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB )，將y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．

 

由題意知     1－3k2≠0△＝36(1－k2)＞0xA＋xB＝62k1－3k2＜0xAxB＝－91－3k2＞0，解得，33＜k＜1．

 

∴當(dāng)33＜k＜1時，l與雙曲線左支有兩個交點．

 

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB ＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋ )＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22

 

＝221－3k2．

 

∴AB中點P的坐標(biāo)為（32k1－3k2，21－3k2）．

 

設(shè)l0方程為：y＝－1kx＋b，將P點坐標(biāo)代入l0方程，得b＝421－3k2．

 

∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b<－22．

 

∴b的取值范圍為：(－ ，－22)．

 

【點評】　本題主要考查利用直接法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系不等式的解法等知識，以及考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查邏輯思維能力及運算能

力.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的主要涉及到交點個數(shù)問題、中點問題、弦長問題、最值與定值問題等，解答時往往通過消元最終歸結(jié)為一元二次方程來進行解決.特別地：(1)如果遇到弦的

中點與斜率問題則考慮利用"點差法"較為簡單，但須注意對結(jié)果進行檢驗；(2)求最值與參數(shù)的范圍時注意確定自變量的范圍；(3)過焦點的弦長問題一般利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行轉(zhuǎn)

化可大大減少運算量.

 

題型四　圓錐曲線與三角函數(shù)的交匯

 

 

此類試題主要體現(xiàn)在以三角函數(shù)為直線方程、圓的方程或圓錐曲線方程的系數(shù)，或根據(jù)三角函數(shù)滿足的等式求解解析幾何問題，或利用三角為工具研究解析幾何問題等，解答時一般要

根據(jù)所涉及到的解析幾何知識及三角知識，將它們有機的結(jié)合在一起進行解答.

 

 

【例4】　(08年高考新課標(biāo)各地聯(lián)考考場全真提高測試)已知 是三角形的一個內(nèi)角，且

 

sin ＋cos ＝15，則方程x2tan －y2cot ＝－1表示 （    ）

 

A．焦點在x軸上的雙曲線 B．焦點在y軸上的雙曲線

 

C．焦點在x軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的橢圓

 

【分析】　首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，進而具體化圓錐曲線方程，再根據(jù)方程進行判斷.

 

【解】　由sin ＋cos ＝15及sin2 ＋cos2 ＝1，且0＜ ＜π，解得sin ＝45，cos ＝－35，因此x2tan －y2cot ＝－1就是4x23－3y24＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，故選A.

 

【點評】　本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及雙曲線方程的識別.解答的關(guān)鍵是求得sinα與cosα的值，以及會根據(jù)圓錐曲線方程識別曲線類型的能力.

 

題型五　圓錐曲線與向量的交匯

圓錐曲線與向量知識交匯在一起的綜合題，以復(fù)雜多變、綜合性強、解法靈活，知識覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實踐能力和數(shù)學(xué)思想方程應(yīng)用能力.在解題中需要把握住知識間的聯(lián)系，注意借助轉(zhuǎn)化的思想、方程思想等.

 

【例5】　(2009屆湖南省高考模擬題)在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別為A(－1，0)、B(1，0)，平面內(nèi)兩點G，M同時滿足下列條件：①→GA＋→GB＋→GC＝→0；

②|→MA|＝|→MB|＝|→MC|：③→GM∥→AB.(Ⅰ)求△ABC的頂點C的軌跡方程；(Ⅱ)過點P(3，0)的直線l與(Ⅱ)中軌跡交于E，F兩點，求→PE·→PF的取值范圍 .

 

【分析】　由于涉及到的動點有三個，因此采用設(shè)而不求思想先設(shè)C、G、M三點的坐標(biāo)，然后將坐標(biāo)代入①②中的兩個等式，同時利用向量平行的條件進行轉(zhuǎn)化，第(Ⅰ)小題就可求解.第

 

(Ⅱ)小題則需利用判別式確定直線與所求軌跡相交的條件，即直線斜率k的范圍，然后利用向量的數(shù)量積公式及韋達定理建立→PE·→PF關(guān)于k的函數(shù)式，最后根據(jù)求函數(shù)值域的方法即可

求得結(jié)果.

 

【解】　（Ⅰ）設(shè)C(x，y)，G(x0，y0)，M(xM，yM)，

 

∵|→MA|＝|→MB|，∴M點在線段AB的中垂線上.

 

由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y0，

 

又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)，

 

∴x0＝x3，y0＝y3，yM＝y3，

 

∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2，

 

∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴頂點C的軌跡方程為x2＋y23＝1(y≠0).

 

（Ⅱ）設(shè)直線l方程為：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，

 

由  y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去y得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，

 

∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3，

 

而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2|

 

＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3，

 

由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38，

 

∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889).

【點評】　本題主要考查向量的坐標(biāo)運算及幾何意義、軌跡的直接求法、不等式的解法，考查"設(shè)而不求法"結(jié)合二次方程的判別式及韋達定理在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的應(yīng)用，

同時考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及邏輯推理能力、解題實踐能力和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用能力.本題解答有兩個關(guān)鍵：(1)對條件中的向量關(guān)系的轉(zhuǎn)化；(2)建立→PE·→PF關(guān)于直線

斜率k的函數(shù).解答本題還有一個易錯點：忽視直線與圓錐曲線相交的條件限制，造成所求范圍擴大.

題型六　圓錐曲線與數(shù)列的交匯

此類試題主要體現(xiàn)為以解析幾何中的點的坐標(biāo)為數(shù)列，或某數(shù)列為圓錐曲線方程的系數(shù)，或以直線與圓及圓錐曲線的弦長構(gòu)成數(shù)列等.解答時一般須根據(jù)解析幾何的知識確定數(shù)列的通項或遞推關(guān)系，進而利用數(shù)列的知識作答.

 

 

例6　(2009屆渭南市高三教學(xué)質(zhì)量檢測)已知雙曲線an 1y2－anx2＝an 1an的一個焦點為(0，cn)，一條漸近線方程為y＝2x，其中{an}是以4為首項的正數(shù)數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{cn}的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{ncn3}的前n項和Sn.

 

【分析】　將焦點坐標(biāo)與雙曲線實軸與短軸的關(guān)系建立cn與an、an 1的等式，再利用漸近線的斜率與實軸與短軸的可判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由此可求得an的表達式，進而求得{cn}的通

項公式，由此解決第(Ⅰ)小題；第(Ⅱ)小題利用第(Ⅰ)的結(jié)果確定數(shù)列{ncn3}的通項公式，根據(jù)公式特點選擇利用錯位相減法求解.

【解】　(Ⅰ)∵雙曲線方程y2an－x2an 1＝1的焦點為(0，cn)，∴cn＝an＋an 1，

 

又∵一條漸近線方程為y＝2x，即anan 1＝2，∴anan 1＝2，又a1＝4，

 

∴an＝4·2n 1＝2n+1，即cn＝2n+1＋2n＝3·2n.

 

(Ⅱ)∵ncn3＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n     ①

 

2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋ … ＋(n－1)·2n＋n·2n+1    ②

 

由①－②  得 －Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1，

 

∴S＝－2(1－2 n)1－2＋n·2 n+1＝2－2 n+1＋n·2 n+1.

 

【點評】　本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、等比數(shù)列的定義和通項公式及利用錯位相減法，同時考查轉(zhuǎn)化思想及解答綜合處理交匯試題的能力.本題是一道與數(shù)列相結(jié)合的一道綜合

題，但難度并不大.解答本題注意兩點基本知識及方法的應(yīng)用：（2）通過雙曲線的焦點坐標(biāo)與漸近線方程建立等式；（2）利用錯位相減法求解求和.