三、解答題

　　11.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(-1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.

　　解析：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲走私船(在D點(diǎn))，

　　則CD=10t海里，BD=10t海里.

　　在ABC中，由余弦定理 ，得

　　BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A

　　=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，

　　BC=(海里).

　　由正弦定理知=，

　　sin ∠ABC===，

　　ABC=45°， B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，

　　CBD=90°+30°=120°.

　　在BCD中，由正弦定理，得

　　=，

　　sin ∠BCD=

　　==，

　　BCD=30°， 緝私船沿北偏東60°的方向行駛.

　　又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，

　　D=30°，

　　BD=BC，即10t=，

　　t=小時(shí)≈15分鐘.

　　故緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.

　　12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分別為ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角.

　　(1)求角C的大小;

　　(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求邊c的長(zhǎng).

　　解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B

　　=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，

　　在ABC中，A+B=π-C且0

　　sin(A+B)=sin C，

　　又 m·n=sin 2C，

　　sin C=sin 2C=2cos Csin C，

　　cos C=， C=.

　　(2) sin A+sin B=2sin C，

　　由正弦定理得a+b=2c，

　　SABC=absin C=ab=，得ab=4，

　　由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C

　　=(a+b)2-3ab=4c2-12，

　　c=2.

　　13.在ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的三邊，已知b2+c2=a2+bc.

　　(1)求角A的大小;

　　(2)若2sin2+2sin2=1，試判斷ABC的形狀.

　　解析：(1)b2+c2=a2+bc，

　　所以cos A===，

　　又A(0，π)，得到A=.

　　(2) 2sin2+2sin2=1，

　　1-cos B+1-cos C=1，

　　cos B+cos C=1，

　　即cos B+cos=1，得到

　　sin=1，

　　0

　　B+=，

　　B=，ABC為等邊三角形.

　　14.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin2-cos 2A=.

　　(1)求A的度數(shù);

　　(2)若a=，b+c=3，求b，c的值.

　　解析：(1) B+C=π-A，即=-，

　　由4sin2-cos 2A=，

　　得4cos2-cos 2A=，

　　即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=，

　　整理得4cos2A-4cos A+1=0，

　　即(2cos A-1)2=0.

　　cos A=，又0°

　　(2)由A=60°，根據(jù)余弦定理cos A=，得=，

　　b2+c2-bc=3，

　　又b+c=3，

　　∴ b2+c2+2bc=9.

　�、�-得bc=2.