三、解答題
10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.
(1)將y表示成x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的最小正周期;
(2)記f(x)的最大值為M，a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，若f=M，且a=2，求bc的最大值.
解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，
即y=2cos2x+2sin xcos x
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，
所以f(x)=2sin+1.
又T===π，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)由(1)易得M=3，
于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，bc取得最大值，且最大值為4.
11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;
(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.
命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)，然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進(jìn)行求解.
解析：(1)因?yàn)閒(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
因?yàn)閤[0，π]，所以2x+，
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)因?yàn)樵贏BC中，f=，
所以sin=，所以sin=1，
因?yàn)?
又因?yàn)閍=2，b=，所以由正弦定理=，得=，
所以sin B=，即B=或B=，
所以C=或C=.
鏈接高考：高考對(duì)于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，運(yùn)用這些公式先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步研究其性質(zhì).
12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)如圖，點(diǎn)M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上一點(diǎn)P滿足·=，求函數(shù)f(x)的最大值.
命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關(guān)內(nèi)容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識(shí).對(duì)于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對(duì)于第(2)問，一種方法是先求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用·=，即可求出函數(shù)f(x)的最大值;另一種方法是過點(diǎn)P作PC垂直x軸于點(diǎn)C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的最大值.
解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴ sin=sin，
展開得cos θ+sin θ=.
cos θ=sin θ，tan θ=，
θ∈， θ=，
函數(shù)f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點(diǎn)M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，
=，=，
·==， +t=，
θ+2t=.
P在函數(shù)圖象上，
Asin(θ+2t)=Asin=，
A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.
解法二：過點(diǎn)P作PC垂直x軸于點(diǎn)C.
令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，
M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，
·=||·||cos PNM
=·||cos PNM=·||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，
A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.
導(dǎo)師語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合起來進(jìn)行考查，既考查了三角函數(shù)有關(guān)的運(yùn)算，又考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結(jié)合起來考查.
13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
因?yàn)閒(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因?yàn)閒(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
從而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
