1.下列函數在其定義域內既是奇函數又是增函數的是(　　)

A.y=2xB.y=x3+x

C.y=-D.y=-log2x

答案　B

解析　若函數是奇函數，則f(-x)=-f(x)，故排除A、D;對C：y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上單調遞增，但在定義域上不單調，故C錯，故答案為B.

2.已知函數f(x)=|lnx|-1，g(x)=-x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值.設函數h(x)=min{f(x)，g(x)}，則函數h(x)的零點個數為(　　)

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　畫圖可知四個零點分別為-1和3，和e，但注意到f(x)的定義域為x>0，故選C.

3.已知函數f(x)=ln(2x+)-，若f(a)=1，則f(-a)等于(　　)

A.0B.-1

C.-2D.-3

答案　D

解析　因為f(a)+f(-a)=+=-2，

所以f(-a)=-2-f(a)=-2-1=-3.故選D.

4.設函數f(x)=ex+x-2，g(x)=lnx+x2-3，若實數a，b滿足f(a)=g(b)=0，則(　　)

A.f(b)<00，所以00，所以10，g(a)<0，故g(a)<00)上的值域為[m，n]，則m+n的值是(　　)

A.0B.1

C.2D.4

答案　D

解析　f(x)=1++sinx=1+2()+sinx=3-+sinx，

m+n=f(-k)+f(k)

=6-2(+)+sin(-k)+sink=6-2=4.

6.函數y=4cosx-e|x|(e為自然對數的底數)的圖象可能是(　　)

答案　A

解析　由解析式知函數為偶函數，故排除B、D.又f(0)=4-1=3>0，故選A.

7.設函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)，則滿足上述條件的f(x)可以是(　　)

A.f(x)=cosB.f(x)=sin

C.f(x)=2cos2D.f(x)=2cos2

答案　C

解析　根據y=f(x)是偶函數，排除B;由f(x+6)=f(x)+f(3)知道y=f(x)是周期函數，6是它的一個周期，C選項可整理為f(x)=1+cos，其周期為T==6，符合題意，故選C.

8.設函數f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0).已知五個方程的相異實根個數如下表所述：

f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)+20=0 1 f(x)=0 3 α為f(x)的極大值，下列選項中正確的是(　　)

A.0<α<10 B.10<α<20

C.-10<α<0D.-20<α<-10

答案　B

解析　方程f(x)-k=0的相異實根數可化為方程f(x)=k的相異實根數，方程f(x)=k的相異實根數可化為函數y=f(x)與水平線y=k兩圖形的交點數.依題意可得兩圖形的簡略圖有以下兩種情形：

(1)當a為正時，

(2)當a為負時，

因極大值點位于水平線y=10與y=20之間，所以其縱坐標α(即極大值)的范圍為10<α<20.

9.奇函數f(x)、偶函數g(x)的圖象分別如圖1、2所示，方程f(g(x))=0、g(f(x))=0的實根個數分別為a、b，則a+b等于(　　)

A.14B.10

C.7D.3

答案　B

解析　由圖可知，圖1為f(x)的圖象，圖2為g(x)的圖象，m∈(-2，-1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))=0g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1x=-1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=-2，x=2，∴方程f(g(x))=0有7個根，即a=7;而方程g(f(x))=0f(x)=m或f(x)=0或f(x)=nf(x)=0x=-1，x=0，x=1，

∴方程g(f(x))=0有3個根，即b=3.∴a+b=10，

故選B.

10.當函數f(x)=有且只有一個零點時，a的取值范圍是(　　)

A.a≤0B.01

答案　D

解析　∵f(1)=lg1=0，∴當x≤0時，函數f(x)沒有零點，故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(-∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0，故選D.

11.函數y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，則+的最小值為(　　)

A.2B.4

C.D.

答案　D

解析　由題意，得點A(-2，-1)，

故-2m-n+2=0，即2m+n=2，

∴+=+=++2+≥4+=，當且僅當m=n=時，等號成立.故選D.

12.設函數y=f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D，當x1+x2=2a時，恒有f(x1)+f(x2)=2b，則稱點(a，b)為函數y=f(x)圖象的對稱中心.研究函數f(x)=x3+sinx+1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)等于(　　)

A.0B.2014

C.4028D.4031

答案　D

解析　∵f(x)=x3+sinx+1，∴f′(x)=3x2+cosx，

f″(x)=6x-sinx，又∵f″(0)=0，

而f(x)+f(-x)=x3+sinx+1-x3-sinx+1=2，

函數f(x)=x3+sinx+1圖象的對稱中心的坐標為(0,1)，

即x1+x2=0時，總有f(x1)+f(x2)=2，

∴f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)=2×2015+f(0)=4030+1

=4031.故選D.

13.已知函數f(x)=則f(f(-))=________;f(x)的最小值為________.

答案　1　0

解析　f(f(-))=f(log33)=f(1)=1+2-2=1.

當x≥1時，f(x)=x+-2≥2-2;

當x<1時，f(x)=log3(x2+1)≥0.

故f(x)的最小值為f(0)=0.

14.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y=()t-a(a為常數)，如圖所示.據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室.則從藥物釋放開始，至少需要經過________小時后，學生才能回到教室.

答案　0.6

解析　當t=0.1時，可得1=()0.1-a，

∴0.1-a=0，a=0.1，由題意可得y≤0.25=，

即()t-0.1≤，即t-0.1≥，

解得t≥0.6，所以至少需要經過0.6小時后，學生才能回到教室.

15.已知函數f(x)的定義域為R，直線x=1和x=2是曲線y=f(x)的對稱軸，且f(0)=1，則f(4)+f(10)=________.

答案　2

解析　∵直線x=1和x=2是曲線y=f(x)的對稱軸，

∴f(2-x)=f(x)，f(4-x)=f(x)，

∴f(2-x)=f(4-x)，∴y=f(x)的周期T=2，

∴f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2.

16.給定方程：()x+sinx-1=0，則下列命題中：

①該方程沒有小于0的實數解;

②該方程有無數個實數解;

③該方程在(-∞，0)內有且只有一個實數解;

④若x0是該方程的實數解，則x0>-1.

正確的命題是________.

答案　②③④

解析　對于①，若α是方程()x+sinx-1=0的一個解，則滿足()α=1-sinα，當α為第三、四象限角時，()α>1，此時α<0，因此該方程存在小于0的實數解，故①不正確;

對于②，原方程等價于()x-1=-sinx，

當x≥0時，-1<()x-1≤0，而函數y=-sinx的最小值為-1，且有無窮多個x滿足-sinx=-1，

因此函數y=()x-1與y=-sinx的圖象在[0，+∞)上有無窮多個交點，因此方程()x+sinx-1=0有無數個實數解，故②正確;

對于③，當x<0時，由于x≤-1時，()x-1≥1，

函數y=()x-1與y=-sinx的圖象不可能有交點，

當-1-1，故④正確.

故答案為②③④.