10.解:(1)由題設(shè),anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,

兩式相減,得an+1(an+2-an)=λan+1.

由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

由(1)知,a3=λ+1.

令2a2=a1+a3,解得λ=4.

故an+2-an=4.

由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.

所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

11.D　解析:{}為遞減數(shù)列,

=<1.

∴a1d<0.故選D.

12.B　解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80.

又S4=a1+a2+a3+a4=40,

所以4(a1+an)=120,a1+an=30.

由Sn==210,得n=14.

13.B　解析:a1=19,an+1-an=-3,

∴數(shù)列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列.

an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

設(shè){an}的前k項和數(shù)值最大,

則有kN+.

∴

∴≤k≤.

∵k∈N+,∴k=7.

∴滿足條件的n的值為7.

14.　解析:因為2(nN+,n≥2),

所以數(shù)列{}是以=1為首項,以d==4-1=3為公差的等差數(shù)列.

所以=1+3(n-1)=3n-2.

所以an=,n≥1.

所以a7=.

15.(1)證明:當(dāng)n=1時,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,

解得a1=3(a1=-1舍去).

當(dāng)n≥2時,有2Sn-1=+n-5.

又2Sn=+n-4,

兩式相減得2an=+1,

即-2an+1=,

也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.

若an-1=-an-1,則an+an-1=1.

而a1=3,所以a2=-2,這與數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)相矛盾,

所以an-1=an-1,即an-an-1=1.

因此,數(shù)列{an}為首項為3,公差為1的等差數(shù)列.

(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以數(shù)列{an}的通項公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.

16.(1)證明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).

當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),

即an-an-1=4,

故數(shù)列{an}是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列.

于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN+).

(2)解:由(1),得=2n-1(nN+).

又S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.

令2n-1=2015,得n=1008,

即存在滿足條件的自然數(shù)n=1008.