三、解答題

11.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=(an-1)，數(shù)列{bn}滿足bn=bn-1-(n≥2)，且b1=3.

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=an·log2(bn+1)，其前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.

解析：(1)對(duì)于數(shù)列{an}有Sn=(an-1)，

Sn-1=(an-1-1)(n≥2)，

由-，得an=(an-an-1)，即an=3an-1，

當(dāng)n=1時(shí)，S1=(a1-1)=a1，解得a1=3，

則an=a1·qn-1=3·3n-1=3n.

對(duì)于數(shù)列{bn}，有bn=bn-1-(n≥2)，

可得bn+1=bn-1+，即=.

bn+1=(b1+1)n-1=4n-1=42-n，

即bn=42-n-1.

(2)由(1)可知

cn=an·log2(bn+1)=3n·log2 42-n

=3n·log2 24-2n=3n(4-2n).

Tn=2·31+0·32+(-2)·33+…+(4-2n)·3n，

3Tn=2·32+0·33+…+(6-2n)·3n+(4-2n)·3n+1，

由-，得

-2Tn=2·3+(-2)·32+(-2)·33+…+(-2)·3n-(4-2n)·3n+1

=6+(-2)(32+33+…+3n)-(4-2n)·3n+1，

則Tn=-3++(2-n)·3n+1

=-+·3n+1.

12.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a4=-，且對(duì)于任意的nN+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)已知bn=n(nN+)，記Tn=+++…+，若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.

解析：(1)設(shè)公比為q，

S1，S3，S2成等差數(shù)列，

2S3=S1+S2，

2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得q=-，

又a1+a4=a1(1+q3)=-，

a1=-， an=a1qn-1=n.

(2)∵ bn=n，an=n，

=n·2n，

Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n，

2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，

①-，得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1，

Tn=-=(n-1)·2n+1+2.

若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立，

則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1]，

(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1)，

m≥.

令f(n)=，f(n+1)-f(n)=-=<0，

f(n)為減函數(shù)，

f(n)≤f(2)=.

m≥.即m的取值范圍是.

13.數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，且1-a2是a1與1+a3的等比中項(xiàng)，前n項(xiàng)和為Sn;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=8，其前n項(xiàng)和Tn滿足Tn=nλ·bn+1(λ為常數(shù)，且λ≠1).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及λ的值;

(2)比較+++…+與Sn的大小.

解析：(1)由題意得(1-a2)2=a1(a3+1)，

即2=a1，

解得a1=， an=n.

又即

解得或(舍).λ=.

(2)由(1)知Sn=1-n，

Sn=-n+1≥，

又Tn=4n2+4n，

==，

++…+

=1-+-+…+-

=<.

由可知，++…+