一、選擇題

　　1.若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于(　　)

　　A.30° B.150°

　　C.30°或150° D.以上均錯(cuò)

　　2.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值為(　　)

　　A. 2B. 1C.2/3 D.1/4

　　3.如果二面角α—l—β的平面角是銳角，點(diǎn)P到α，β和棱l的距離分別為2，4和4，則二面角的大小為(　　)

　　A.45°或30° B.15°或75°

　　C.30°或60° D.15°或60°

　　4.從點(diǎn)P引三條射線PA、PB、PC，每兩條夾角均為60°，則二面角B—PA—C的余弦值是(　　)

　　A.1/2 B.1/3 C.3 D.1

　　5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)

　　A.2 B.1/2 C.2/3 D.1

　　6.長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為(　　)

　　A.1 B. 2C. 1/2 D.3

　 二、填空題

　　7.若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n=(1,0,1)，ν=(-1，1,0).則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是________.

　　8.如圖，

　　已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________.

　　9.已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為________.

　　三、解答題

　　10.長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=2，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1與面B1BCC1的中心，求異面直線AF與BE所成角的余弦值.

　　11.

　　在三棱錐S—ABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=4.

　　(1)證明：SCBC;

　　(2)求二面角A—BC—S的大小.

　　能力提升

　　12.

　　如圖所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上，且DEAE.求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值.

　　13.

　　如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE=3EB1.

　　(1)證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線;

　　(2)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1-AC1-B1的余弦值.

　　1.[0，]　　方向向量　φ　π-φ

　　2.[0，π]　法向量　相等或互補(bǔ)

　　作業(yè)設(shè)計(jì)

　　1.A

　　2.D

　　[如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，

　　M，C(0,1,0)，

　　N.

　　∴=，=.

　　∴·=，||==||.

　　∴cos〈，〉==.]

　　3.B　[如圖(1)，(2)所示，分別是P在二面角α—l—β的內(nèi)部、外部時(shí)的情況.因?yàn)镻A⊥α，所以PA⊥l，因?yàn)镻C⊥l，所以l⊥面PAC，同理，l⊥面PBC，而面PAC與面PBC有公共點(diǎn)，所以面PAC和面PBC應(yīng)重合，即A，B，C，P在同一平面內(nèi)，∠ACB是二面角的平面角.

　　在Rt△APC中，sin∠ACP===，所以∠ACP=30°.在Rt△BPC中，sin∠BCP===，所以∠BCP=45°，故∠ACB=30°+45°=75°(圖(1))，或∠ACB=45°-30°=15°(圖(2)).]

　　圖(1)　　　　　　圖(2)

　　4.B　[在射線PA上取一點(diǎn)O，分別在平面PAB、PAC內(nèi)作OE⊥PA，OF⊥PA交PB、PC于E、F，則∠EOF為所求二面角的平面角.

　　△EOF中，令EF=1，則由題意可求得，OE=OF=，∴cos∠EOF==.]

　　5.B

　　[建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，

　　則=(1,0,1)，=(1,1，).

　　設(shè)平面A1DE的法向量n1=(x，y，z)，

　　則解得

　　令z=1，n1=(-1，，1)

　　平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1)，

　　cos〈n1，n2〉==.]

　　6.B　[

　　建立坐標(biāo)系如圖.

　　則A(1,0,0)，E(0,2,1)，

　　B(1,2,0)，C1(0,2,2).

　　=(-1,0,2)，=(-1,2,1)，

　　cos〈，〉==.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.]

　　7.60°

　　解析　cos〈n，ν〉===-，

　　〈n，ν〉=120°.故兩平面所成的銳二面角為60°.

　　8.90°

　　解析

　　建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為1，則B，

　　M，

　　B1，

　　因此=，=，設(shè)異面直線AB1與BM所成的角為θ，

　　則cos θ=|cos〈，〉|==0，

　　θ=90°.

　　9.

　　解析　建立

　　如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1.因?yàn)锳1D平面ABC，ADBC，由AD=，AA1=1知A1D=.

　　故A1.又A，B，

　　=，=，

　　cos〈，〉=.

　　又CC1∥AA1，cos〈，〉=cos〈，〉.

　　故異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為.

　　10.解　以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

　　則A(2,0,0)，B(2,4,0)，

　　C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，

　　E(1,2,2)，F(xiàn)(1,4,1)，

　　=(-1,4,1)，

　　=(-1，-2,2)，

　　||==3，||==3，

　　·=1-8+2=-5，

　　cos〈，〉==-.

　　異面直線所成角的范圍是，

　　設(shè)AF與BE所成角為θ，

　　則cos θ=|cos〈，〉|=.

　　11.(1)證明　由已知SAB=SAC=ACB=90°，以C點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,2,0)，B(4,0,0)，C(0,0,0)，S(0,2,2)，

　　則=(0，-2，-2)，

　　=(-4,0,0)，

　　·=0，SC⊥BC.

　　(2)解　SAB=SAC=90°，SA⊥平面ABC，

　　=(0,0,2)是平面ABC的法向量.

　　設(shè)側(cè)面SBC的法向量為n=(x，y，z)，

　　=(0，-2，-2)，=(-4,0,0).

　　·n=0，·n=0，

　　∴x=0.令z=1，則y=-，

　　則得平面SBC的一個(gè)法向量n=(0，-，1)，

　　cos〈，n〉===，

　　即二面角A—BC—S的大小為60°.

　　12.解　如圖所示，

　　設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AA1=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，-1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，

　　D.易知=(，1,0)，

　　=(0,2，)，=(，，).

　　設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則有

　　解得x=-y，z=-y，

　　故可取n=(1，-，).

　　所以cos〈n，〉===.

　　由此可知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.

　　13.(1)證明　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA、BB1為x軸正半軸、y

　　軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

　　設(shè)AB=2，則A(2,0,0)，

　　B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0).又設(shè)C(1,0，c)，則=(，，0)，=(2，-2,0)，=(1，-1，c).

　　于是·=0，·=0，故DEB1A，DEDC，又DE∩AB1=E，CD∩DE=D.

　　所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.

　　(2)解　因?yàn)椤�，〉等于異面直線AB1與CD的夾角，故·=|B1A||cos 45°，

　　即2××=4.

　　解得c=，故=(-1,0，).

　　又==(0,2,0)，

　　所以=+=(-1,2，).

　　設(shè)平面AA1C1的法向量m=(x，y，z)，

　　則m·=0，m·=0，

　　即-x+2y+z=0,2y=0.

　　令x=，則z=1，y=0.

　　故m=(，0,1).

　　設(shè)平面AB1C1的法向量為n=(p，q，r)，

　　則n·=0，n·=0，

　　即-p+2q+r=0,2p-2q=0，

　　令p=，則q=，r=-1.

　　故n=(，，-1).

　　所以cos〈m，n〉==.

　　由于〈m，n〉等于二面角A1-AC1-B1的平面角，

　　所以二面角A1-AC1-B1的余弦值為.