1.拋物線的定義

　　平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離________的點(diǎn)的集合叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________.

　　2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　(1)方程y2=±2px，x2=±2py(p>0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　(2)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________，準(zhǔn)線方程是__________，開口方向________.

　　(3)拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________，準(zhǔn)線方程是__________，開口方向________.

　　(4)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________，準(zhǔn)線方程是__________，開口方向________.

　　(5)拋物線x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________，準(zhǔn)線方程是__________，開口方向________.

　　一、選擇題

　　1.拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是(　　)

　　A. 2aB.a C.|a| D.-a

　　2.與拋物線y2=x關(guān)于直線x-y=0對稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)

　　A.(1,0) B.(，0) C.(0,0) D.(0，)

　　3.拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a(a>)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是(　　)

　　A.a+ B.a-

　　C.a+p D.a-p

　　4.已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn)P(-3，m)到焦點(diǎn)F的距離為5，則拋物線方程為(　　)

　　A.y2=8x B.y2=-8x

　　C.y2=4x D.y2=-4x

　　5.方程=|x-y+3|表示的曲線是(　　)

　　A.圓 B.橢圓 C.直線 D.拋物線

　　6.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(　　)

　　A. 1B.3 C. 5D.6

　　 二、填空題

　　7.拋物線x2+12y=0的準(zhǔn)線方程是__________.

　　8.若動點(diǎn)P在y=2x2+1上，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q(0，-1)連線中點(diǎn)的軌跡方程是__________.

　　9.已知拋物線x2=y+1上一定點(diǎn)A(-1,0)和兩動點(diǎn)P，Q，當(dāng)PA⊥PQ時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是______________.

　　三、解答題

　　10.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

　　11.平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點(diǎn)P的軌跡方程.

　　能力提升

　　12.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切，則p的值為(　　)

　　A. B.1 C.2 D.4

　　13.AB為拋物線y=x2上的動弦，且|AB|=a (a為常數(shù)且a≥1)，求弦AB的中點(diǎn)M離x軸的最近距離.

　　1.理解拋物線定義，并能判定一些有關(guān)拋物線的點(diǎn)的軌跡問題.

　　2.四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點(diǎn)在一次項字母對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定.當(dāng)系數(shù)為正時，開口方向為坐標(biāo)軸的正方向;系數(shù)為負(fù)時，開口方向為坐標(biāo)軸的負(fù)方向.

　　3.焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2=2py通常又可以寫成y=ax2，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax2來求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線時，必須先化成標(biāo)準(zhǔn)形式.

　　§2　拋物線

　　2.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

　　知識梳理

　　1.相等　焦點(diǎn)　準(zhǔn)線

　　2.(2)(，0)　x=-　向右　(3)(-，0)　x=　向左　(4)(0，)　y=-　向上

　　(5)(0，-)　y=　向下

　　作業(yè)設(shè)計

　　1.B　[因為y2=ax，所以p=，即該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.]

　　2.D　[y2=x關(guān)于直線x-y=0對稱的

　　拋物線為x2=y，∴2p=，p=，∴焦點(diǎn)為.]

　　3.B　[由拋物線的定義知：點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離a等于點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x=-的距離，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為a-.]

　　4.B　[點(diǎn)P(-3，m)在拋物線上，焦點(diǎn)在x軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2=-2px(p>0).由拋物線定義知|PF|=3+=5.

　　所以p=4，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=-8x.]

　　5.D　[原方程變形為

　　=，它表示點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)F(-3,1)的距離等于點(diǎn)M到直線x -y+3=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線.]

　　6.A　[

　　如圖所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-的距離d等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|.

　　因此點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離之和，其最小值為點(diǎn)M(0,2)到點(diǎn)F的距離，則距離之和的最小值為 =.]

　　7.y=3

　　解析　拋物線x2+12y=0，即x2=-12y，故其準(zhǔn)線方程是y=3.

　　8.y=4x2

　　9.(-∞，-3]∪[1，+∞)

　　解析　由題意知，設(shè)P(x1，x-1)，Q(x2，x-1)，

　　又A(-1,0)，PA⊥PQ，∴·=0，

　　即(-1-x1,1-x)·(x2-x1，x-x)=0，

　　也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x)·(x-x)=0.∵x1≠x2，且x1≠-1，

　　∴上式化簡得x2=-x1=+(1-x1)-1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤-3.

　　10.解　設(shè)拋物線方程為y2=-2px (p>0)，

　　則焦點(diǎn)F，

　　由題意，得

　　解得或

　　故所求的拋物線方程為y2=-8x，m=±2.

　　拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)，準(zhǔn)線方程為x=2.

　　11.解　方法一　設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，

　　則有=|x|+1，

　　兩邊平方并化簡得y2=2x+2|x|.

　　∴y2=即點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).

　　方法二　由題意，動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x<0時，直線y=0上的點(diǎn)適合條件;當(dāng)x≥0時，原命題等價于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x=-1的距離相等，故點(diǎn)P在以F為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上，其軌跡方程為y2=4x.

　　故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x (x≥0)或y=0 (x<0).

　　12.C　[方法一　由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得準(zhǔn)線方程為x=-.

　　∵準(zhǔn)線與圓相切，圓的方程為(x-3)2+y2=16，

　　∴3+=4，∴p=2.

　　方法二　作圖可知，拋物線y2=2px (p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切于點(diǎn)(-1,0)，

　　所以-=-1，p=2.]

　　13.解

　　設(shè)A、M、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1、y2、y3.A、M、B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A′、M′、B′，如圖所示.

　　由拋物線的定義，知

　　|AF|=|AA′|=y1+，

　　|BF|=|BB′|=y3+，

　　∴y1=|AF|-，y3=|BF|-.

　　又M是線段AB的中點(diǎn)，

　　∴y2=(y1+y3)=

　　≥×=(2a-1).

　　等號在AB過焦點(diǎn)F時成立，即當(dāng)定長為a的弦AB過焦點(diǎn)F時，M點(diǎn)與x軸的距離最近，最近距離為(2a-1).