1.數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式、不等式、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用.

　　2.在證明n=k+1時(shí)的命題中，怎樣變形使之出現(xiàn)n=k時(shí)的命題的形式是解決問題的關(guān)鍵，要找清n=k+1時(shí)式子結(jié)構(gòu)或幾何量的改變.知識梳理

　　1.某些與正整數(shù)n有關(guān)

　　2.(1)驗(yàn)證：n=1時(shí)，命題成立　(2)當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立　一切正整數(shù)n

　　作業(yè)設(shè)計(jì)

　　1.C　[當(dāng)n=1時(shí)，an+1=a2.

　　等號左邊的項(xiàng)是1+a+a2.]

　　2.C　[當(dāng)n取1、2、3、4時(shí)2n>n2+1不成立，當(dāng)n=5時(shí)，25=32>52+1=26，第一個(gè)能使2n>n2+1的n值為5.]

　　3.C　[觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)=1++…+，

　　而f(2k+1)=1++…++++…+.

　　因此f(2k+1)比f(2k)多了2k項(xiàng).]

　　4.B　[當(dāng)n=k時(shí)左端為(k+1)(k+2)·…·(k+k)，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端為(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)·(k+1+k)(k+1+k+1)，即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).

　　觀察比較它們的變化知增乘了=2(2k+1).]

　　5.B　[因n為正奇數(shù)，所以否定C、D項(xiàng);當(dāng)k=1時(shí)，2k-1=1,2k+1=3，故選B.]

　　6.C　[當(dāng)n=k時(shí)，左邊=++…+.

　　當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=++…+=++…++.]

　　7.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2

　　8.沒有用到歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法

　　9.Sn=

　　解析　S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.

　　10.證明　當(dāng)n=1時(shí)，21+2=4>n2=1，

　　當(dāng)n=2時(shí)，22+2=6>n2=4，

　　當(dāng)n=3時(shí)，23+2=10>n2=9，

　　當(dāng)n=4時(shí)，24+2=18>n2=16，

　　由此可以猜想，

　　2n+2>n2 (nN+)成立.

　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4，右邊=1，

　　所以左邊>右邊，所以原不等式成立.

　　當(dāng)n=2時(shí)，左邊=22+2=6，

　　右邊=22=4，所以左邊>右邊;

　　當(dāng)n=3時(shí)，左邊=23+2=10，右邊=32=9，

　　所以左邊>右邊.

　　假設(shè)n=k時(shí)(k≥3且kN+)時(shí)，不等式成立，

　　即2k+2>k2，那么n=k+1時(shí)，

　　2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.

　　要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，

　　只需證2k2-2≥(k+1)2，

　　即證k2-2k-3≥0，

　　即證(k+1)(k-3)≥0.

　　又k+1>0，k-3≥0，

　　(k+1)(k-3)≥0.

　　所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

　　由可知，nN+，2n+2>n2.

　　11.解　(1)a2===，a3===.

　　(2)猜想an=，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論正確.

　　證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

　　假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí)，結(jié)論成立，即ak=，

　　那么ak+1====.

　　也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

　　根據(jù)可知，結(jié)論對任意正整數(shù)n都成立，

　　即an=.

　　12.解　f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，

　　f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

　　證明：n=1,2時(shí)，由上得證，假設(shè)n=k(kN+，k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，

　　則n=k+1時(shí)，

　　f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k

　　=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

　　=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).

　　f(k+1)能被36整除.

　　因此，對任意nN+，f(n)都能被36整除.

　　又f(1)不能被大于36的數(shù)整除，

　　所求最大的m值等于36.

　　13.(1)解　由題意：Sn=bn+r，

　　當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r.

　　所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，

　　由于b>0且b≠1，

　　所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.

　　又a1=b+r，a2=b(b-1)，

　　=b，即=b，解得r=-1.

　　(2)證明　當(dāng)b=2時(shí)，由(1)知an=2n-1，

　　因此bn=2n(n∈N+)，

　　所證不等式為··…·>.

　　當(dāng)n=1時(shí)，左式=，右式=.

　　左式>右式，所以結(jié)論成立，

　　假設(shè)n=k(kN+)時(shí)結(jié)論成立，

　　即··…·>，

　　則當(dāng)n=k+1時(shí)，

　　··…·>·=.

　　要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，

　　只需證≥，

　　即證≥，

　　由基本不等式=≥成立，

　　故≥成立，

　　所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

　　由可知，nN+時(shí)，不等式··…·>成立.