轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體對(duì)于旋轉(zhuǎn)的慣性大小的度量，它的大小與物體的形狀、質(zhì)量分布以及旋轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。在物理學(xué)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常用$I$表示，其單位是千克·米^2。本文將通過(guò)推導(dǎo)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，來(lái)深入理解這一概念。

假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為$m$的點(diǎn)物體繞著一個(gè)距離為$r$的固定軸旋轉(zhuǎn)，由于它是一個(gè)點(diǎn)物體，所以可以將它看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)繞軸的角加速度$\alpha$與作用在它上面的合外力$F$之間有如下關(guān)系：

$$F = m \alpha r$$

這個(gè)式子可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

$$F r = m r^2 \alpha$$

其中，$m r^2$稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的“轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”，用$I_p$表示。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的物體，它可能有多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有自己的質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)軸。因此，它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是由各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組成的。

考慮一個(gè)物體繞著一個(gè)固定軸旋轉(zhuǎn)，其質(zhì)量分布在距離旋轉(zhuǎn)軸的距離為$r$的圓柱體內(nèi)。如圖所示：


可以將圓柱體分成無(wú)數(shù)個(gè)薄片，每個(gè)薄片的質(zhì)量為$\mathrmm$，距離旋轉(zhuǎn)軸的距離為$r$，寬度為$\mathrmr$，厚度為$h$。根據(jù)定義，每個(gè)薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

$$\mathrmI_p = r^2 \mathrmm$$

整個(gè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量$I$就是所有薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。將$\mathrmm$替換為密度$\rho$乘以薄片體積$\mathrmV=\pi r^2 h \mathrmr$，得到：

$$I=\int_0^R r^2 \mathrmm = \int_0^R r^2 \rho \pi r^2 h \mathrmr = \pi \rho h \int_0^R r^4 \mathrmr = \frac \pi \rho h R^4$$

其中，$R$是圓柱體的半徑。這就是圓柱體繞固定軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式。

類(lèi)似地，對(duì)于其他形狀的物體，我們也可以通過(guò)分割成無(wú)數(shù)個(gè)小塊，然后計(jì)算每個(gè)小塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最后將它們加起來(lái)得到整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這種方法稱(chēng)為“積分法”，也是計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的通用方法。

總結(jié)一下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述物體對(duì)旋轉(zhuǎn)慣性大小的一個(gè)量。對(duì)于簡(jiǎn)單的物體，我們可以通過(guò)公式直接計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；對(duì)于復(fù)雜的物體，我們可以通過(guò)將其分割成小塊，然后計(jì)算每個(gè)小塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最后將它們加起來(lái)得到物體的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。