特征值與特征向量是線性代數(shù)中非常重要的概念。在求解矩陣的特殊性質(zhì)時，特征值與特征向量的應(yīng)用非常廣泛。在本文中，我們將探討特征值與特征向量的性質(zhì)。

首先，讓我們來了解一下什么是特征值與特征向量。給定一個n階矩陣A，如果存在數(shù)值λ和非零向量x，滿足Ax=λx，那么λ稱為A的特征值，x稱為A的特征向量。

特征值與特征向量的性質(zhì)如下：

1. 特征向量線性無關(guān)：如果A有n個不同的特征值，那么A的所有特征向量一定線性無關(guān)。這個結(jié)論可以通過數(shù)學(xué)歸納法證明。

2. 特征值的乘積等于行列式：A的特征值的乘積等于A的行列式。這個結(jié)論可以通過將A對角化來證明。

3. 特征向量構(gòu)成的矩陣可逆：如果A有n個線性無關(guān)的特征向量，那么這些特征向量構(gòu)成的矩陣是可逆的。這個結(jié)論可以通過使用矩陣的行列式來證明。

4. 特征值可以重復(fù)：一個矩陣可以有重復(fù)的特征值。如果有多個特征向量對應(yīng)同一個特征值，那么這些特征向量可以線性組合成另一個特征向量。

5. 特征值與矩陣的跡：A的特征值之和等于A的跡，也就是A的主對角線上所有元素的和。這個結(jié)論可以通過將A對角化來證明。

6. 特征值與矩陣的行列式：A的特征值之積等于A的行列式。這個結(jié)論可以通過將A對角化來證明。

總結(jié)：特征值與特征向量是矩陣分析中非常重要的概念。它們有許多重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以讓我們更好地理解矩陣的特殊性質(zhì)。掌握這些性質(zhì)可以使我們更輕松地求解矩陣的特征值和特征向量。