二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，它可以將一個(gè)二次式寫成兩個(gè)一次式的和，方便了我們的計(jì)算。而二項(xiàng)式定理展開式各項(xiàng)系數(shù)之和則是對定理的另一種解讀，從中我們可以看到一些數(shù)學(xué)美感。

二項(xiàng)式定理的公式是：$$(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^k$$ 其中，$\binom$表示從$n$個(gè)元素中選$k$個(gè)的組合數(shù)，也可以表示為$\frac$。這個(gè)式子的意思是將$(a+b)$乘$n$次，每一項(xiàng)中$a$和$b$的次數(shù)之和都是$n$，然后把它們相加。

如果我們把這個(gè)式子展開，可以得到$$\begin(a+b)^n&=\binoma^n+\binoma^b+\cdots+\binomb^n\\&=a^n+na^b+\fraca^b^2+\cdots+nb^+b^n\end$$ 我們把每一項(xiàng)系數(shù)前的組合數(shù)拆開，得到了展開式的形式。其中，$\binom$的系數(shù)是$a^n$，$\binom$的系數(shù)是$na^b$，以此類推。這些系數(shù)被稱為二項(xiàng)式定理展開式的各項(xiàng)系數(shù)。

現(xiàn)在我們來計(jì)算一下這些系數(shù)的和：$$\begin\sum_^n\binom&=\binom+\binom+\cdots+\binom\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\sum_^n\frac\end$$ 最后一步等式是因?yàn)?\frac=1$，$\frac=1$。

我們發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)式定理展開式各項(xiàng)系數(shù)之和正好等于$2^n$。這是因?yàn)?(a+b)^n$中一共有$n+1$項(xiàng)，每一項(xiàng)的系數(shù)都是由二項(xiàng)式定理中的組合數(shù)$\binom$決定的，而組合數(shù)的個(gè)數(shù)正好是$2^n$。

這個(gè)結(jié)論非常有趣，也很美妙。它展示了數(shù)學(xué)中的一些奇妙對稱性和美感，也讓我們更加深入地理解了二項(xiàng)式定理。