三線合一，是指一個三角形的三條中線、三條角平分線、三條垂線交于一點的現(xiàn)象。這個點被稱為三角形的重心，也是三線合一的交點。

證明三線合一的方法有多種，下面將介紹其中三種常用的方法。

方法一：向量法

三角形的中線、角平分線、垂線都可以用向量表示。設(shè)三角形三個頂點分別為A、B、C，三線合一交點為G，則有：

中線AG = 1/2 (AB + AC)

角平分線AD = BC / (AB + AC) × AB

垂線AE = (AB × AC) / (AB + AC)

根據(jù)向量的加法和乘法，可以得到：

AG + AD + AE = (AB + AC) / 2 + BC / (AB + AC) × AB + (AB × AC) / (AB + AC)

將分母通分，得到：

AG + AD + AE = (AB2 + AC2 + BC2) / (2 × AB + 2 × AC)

由于三角形ABC中有AB2 + AC2 = 2 × BC2，因此可以得到：

AG + AD + AE = 3/2 × BC2 / (AB + AC)

根據(jù)重心的定義，三線合一的交點G滿足AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1。因此，可以用向量表示重心G：

G = 1/3 (A + B + C)

將重心的向量代入AG + AD + AE的式子中，可以得到：

AG + AD + AE = 3/2 × BC2 / (AB + AC) = 3/2 × GD

因此，可以證明三線合一，交點為重心G。

方法二：坐標法

假設(shè)三角形ABC的三個頂點坐標分別為A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。則三角形的中點坐標分別為：

M1((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

M2((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2)

M3((x3 + x1) / 2, (y3 + y1) / 2)

三角形的角平分線分別為：

L1: x = (y3 - y1) / (x3 - x1) × (x - (x1 + x3) / 2) + (y1 + y3) / 2

L2: x = (y1 - y2) / (x1 - x2) × (x - (x1 + x2) / 2) + (y1 + y2) / 2

L3: x = (y2 - y3) / (x2 - x3) × (x - (x2 + x3) / 2) + (y2 + y3) / 2

三角形的垂線分別為：

H1: y = (x1 - x3) / (y3 - y1) × (y - (y1 + y3) / 2) + (x1 + x3) / 2

H2: y = (x2 - x1) / (y1 - y2) × (y - (y1 + y2) / 2) + (x2 + x1) / 2

H3: y = (x3 - x2) / (y2 - y3) × (y - (y2 + y3) / 2) + (x3 + x2) / 2

三線合一的交點G可以通過解方程組得到。

方法三：歐拉線法

歐拉線是三角形的垂心、重心、外心的連線。歐拉線的長度是三角形內(nèi)心到垂心的距離的兩倍。因此，如果能證明三角形的內(nèi)心、垂心、重心、外心四點共線，就可以證明三線合一。

三角形內(nèi)心、垂心、重心、外心的坐標可以用解析幾何的方法求出。然后，可以證明它們共線，從而證明三線合一。

總之，三角形的三線合一現(xiàn)象是幾何學中的一個基本定理。證明三線合一的方法有很多種，其中向量法、坐標法和歐拉線法是比較常用的方法。