反正切函數(shù)是一種三角函數(shù)，它的定義域?yàn)?$(-\infty, +\infty)$，值域?yàn)?$(-\frac, \frac)$。它的基本形式為 $\tan^(x)$，表示的是 $x$ 的反正切值。

反正切函數(shù)公式的推導(dǎo)可以從正切函數(shù)的定義開始。正切函數(shù)的定義是 $\tan(\theta)=\frac$，其中 $\theta$ 是一個角度。反正切函數(shù)的定義是 $\tan^(x)=\theta$，其中 $x$ 是一個實(shí)數(shù)。

我們可以將 $\theta$ 帶入正切函數(shù)的定義式中，得到 $\tan(\theta)=\frac=\frac$。這里的 $x$ 是反正切函數(shù)的參數(shù)。我們可以將等式兩邊取正切函數(shù)的反函數(shù)，得到 $\theta=\tan^(\frac)$。這就是反正切函數(shù)的基本公式。

但是，這個公式的定義域和值域并不符合我們對反正切函數(shù)的要求。為了將其定義域拓展到 $(-\infty, +\infty)$，我們需要對其進(jìn)行一些調(diào)整。

首先，我們需要注意到正切函數(shù)在 $\frac$ 和 $-\frac$ 處有一個垂直漸近線。這意味著，在這些點(diǎn)附近，正切函數(shù)的值會趨近于無窮大或負(fù)無窮大。因此，我們需要將反正切函數(shù)的定義域限制在 $(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)$ 上，以避免出現(xiàn)無窮大的情況。

其次，我們需要注意到反正切函數(shù)的值域?yàn)?$(-\frac, \frac)$。這個值域是一個開區(qū)間，我們需要將其變?yōu)殚]區(qū)間。為此，我們可以考慮將 $\theta$ 限制在 $[-\frac, \frac]$ 上，這樣就可以得到反正切函數(shù)的完整定義。

綜上所述，反正切函數(shù)的公式為：

$$\tan^(x)= \begin \arctan(x) & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\ \arctan(x)+\pi & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\ \frac & x=+\infty\\ -\frac & x=-\infty \end$$

其中，$\arctan(x)$ 表示 $x$ 的反正切值，$\pi$ 表示圓周率。這個公式可以幫助我們計(jì)算任何實(shí)數(shù)的反正切值，從而在數(shù)學(xué)和工程等領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用。