效用函數(shù)是描述人們對(duì)不同選擇的偏好的數(shù)學(xué)函數(shù)。效用函數(shù)的公式可以幫助我們理解人們選擇某種行為或物品的原因。在本文中，我們將討論效用函數(shù)的公式推導(dǎo)過程。

首先，我們需要了解效用函數(shù)的定義。效用函數(shù)是一個(gè)將選擇集合映射到實(shí)數(shù)集合的函數(shù)。對(duì)于任何給定的選擇集合，效用函數(shù)將為每個(gè)選擇分配一個(gè)數(shù)值，該數(shù)值表示該選擇的效用或價(jià)值。我們可以使用效用函數(shù)來比較不同選擇之間的效用大小，以幫助人們做出最佳選擇。

接下來，我們將介紹效用函數(shù)的公式推導(dǎo)過程。假設(shè)我們有一個(gè)由n個(gè)選擇組成的選擇集合，我們可以用u(x)來表示選擇x的效用。我們可以將這些效用值表示為一個(gè)向量，u = (u1, u2, ..., un)。因此，我們可以將效用函數(shù)表示為：

u(x) = u_i

其中i表示選擇x在向量u中的索引。

接著，我們需要考慮兩個(gè)假設(shè)：首先，我們認(rèn)為人們的偏好具有可比性，即人們可以比較不同選擇之間的效用大??；其次，我們認(rèn)為人們的偏好具有傳遞性，即如果人們更喜歡選擇A而不是B，同時(shí)更喜歡選擇B而不是C，則人們更喜歡選擇A而不是C。

基于這些假設(shè)，我們可以推導(dǎo)出效用函數(shù)的公式。假設(shè)我們有兩個(gè)選擇A和B，其效用分別為u(A)和u(B)。我們可以使用比例來比較它們的效用大小，即u(A) : u(B)。如果我們認(rèn)為A比B更好，那么u(A) : u(B) > 1，反之則u(A) : u(B) < 1。我們可以使用比例的自然對(duì)數(shù)來表示這個(gè)關(guān)系：

ln(u(A) : u(B)) = ln(u(A)) - ln(u(B))

我們可以將ln(u(A) : u(B))表示為效用差異的函數(shù)，即：

ln(u(A) : u(B)) = u(A) - u(B)

這個(gè)函數(shù)被稱為效用函數(shù)的對(duì)數(shù)形式。在這個(gè)公式中，我們可以看到，如果選擇A的效用大于選擇B的效用，那么該函數(shù)的值為正，反之則為負(fù)。

最后，我們可以使用效用函數(shù)的對(duì)數(shù)形式來推導(dǎo)出效用函數(shù)的一般形式。假設(shè)我們有n個(gè)選擇，我們可以通過比較兩兩選擇之間的效用大小來確定它們的順序。我們可以使用比例的自然對(duì)數(shù)來比較它們的效用大小，即：

ln(u(x) : u(y)) = u(x) - u(y)

我們可以將這個(gè)公式推廣到所有n個(gè)選擇中，即：

ln(u(x) : u(y)) = u(x) - u(y) = Σi=1 to n wi(x) * ui - Σi=1 to n wi(y) * ui

其中，wi(x)表示選擇x在向量u中的權(quán)重，ui表示向量u中第i個(gè)元素的效用值。

綜上所述，我們可以通過比較選擇之間的效用大小來推導(dǎo)出效用函數(shù)的公式。這個(gè)公式可以幫助我們理解人們做出選擇的原因，并幫助我們做出最佳選擇。