三角形角平分線是指從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)呑饕粭l線段，將這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角。三角形角平分線有許多重要的性質(zhì)，下面我們來逐一介紹。

一、角平分線定理

在一個(gè)三角形中，如果一條線段從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將這個(gè)角平分成兩個(gè)相等的角，那么這條線段將把對(duì)邊分成兩條線段，使它們的比等于另外兩邊的比。

例如，在三角形ABC中，D為角A的平分線，則有$\frac=\frac$。

二、內(nèi)角平分線定理

在一個(gè)三角形中，一個(gè)角的內(nèi)角平分線把對(duì)角線分成兩條線段，使它們的比等于另外兩邊的比。

例如，在三角形ABC中，D為角A的內(nèi)角平分線，則有$\frac=\frac$。

三、外角平分線定理

在一個(gè)三角形中，一個(gè)角的外角平分線等于另外兩個(gè)角的內(nèi)角平分線之和。

例如，在三角形ABC中，角A的外角平分線AE等于角B和角C的內(nèi)角平分線之和。

四、角平分線的垂直定理

在一個(gè)三角形中，一條角平分線垂直于另一條角平分線，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)角的兩邊相等。

例如，在三角形ABC中，如果BD為角A的平分線，且$\angle ABD=\angle CBD$，那么AB=AC。

五、角平分線的交點(diǎn)定理

在一個(gè)三角形中，三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。

例如，在三角形ABC中，角A、B、C的平分線交于點(diǎn)I，那么I就是三角形ABC的內(nèi)心。

六、內(nèi)心的性質(zhì)

（1）內(nèi)心到三角形的三條邊距離相等；

（2）內(nèi)心是三角形外接圓的內(nèi)心；

（3）內(nèi)心到三角形三條邊的距離分別為$\frac$，其中S為三角形的面積，a、b、c為三角形的三條邊；

（4）內(nèi)心到三角形三個(gè)角的角平分線的距離相等，且等于半周長減去對(duì)應(yīng)邊的一半，即$r=\frac(a+b+c)$。