平面向量的平行性是數(shù)學中一個非常重要的概念，它是指兩個向量在平面上方向相同或相反的情況。平面向量的平行性可以通過坐標表示進行證明。

假設有兩個平面向量 $\vec=(a_1,a_2)$ 和 $\vec=(b_1,b_2)$，如果它們平行，那么它們的方向相同或相反，即 $\vec$ 和 $\vec$ 的夾角為 $0$ 或 $\pi$。我們可以通過向量內(nèi)積的定義來證明這一點。

向量內(nèi)積的定義為 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos\theta$，其中 $|\vec|$ 和 $|\vec|$ 分別表示向量 $\vec$ 和 $\vec$ 的模長，$\theta$ 表示 $\vec$ 和 $\vec$ 的夾角。

如果 $\vec$ 和 $\vec$ 平行，則 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$。此時，向量內(nèi)積可以表示為 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos 0=|\vec||\vec|$ 或 $\vec\cdot \vec=|\vec||\vec|\cos\pi=-|\vec||\vec|$。

根據(jù)向量的坐標表示，$|\vec|=\sqrt$，$|\vec|=\sqrt$，$\vec\cdot \vec=a_1b_1+a_2b_2$。將 $\vec\cdot \vec$ 代入上式得到：

$$

\begin

\vec\cdot \vec&=|\vec||\vec|\cos\theta\\

&=\sqrt\sqrt\cos\theta\\

&=\frac{\sqrt\sqrt}\sqrt\sqrt\\

&=a_1b_1+a_2b_2

\end

$$

因此，如果 $\vec$ 和 $\vec$ 平行，則 $a_1b_1+a_2b_2=0$ 或 $a_1b_1+a_2b_2=|\vec||\vec|^2$。此時，我們可以用向量坐標的形式來表示平面向量的平行性。

綜上所述，平面向量的平行性可以通過向量內(nèi)積的定義和坐標表示來進行證明。如果兩個平面向量的坐標滿足 $a_1b_1+a_2b_2=0$ 或 $a_1b_1+a_2b_2=|\vec||\vec|^2$，則它們平行。