正方形是一種四邊相等、四角相等、對(duì)邊平行的特殊矩形，也是一種常見(jiàn)的幾何形狀。正方形的對(duì)角線是從一個(gè)角到與之相對(duì)的角的直線，它將正方形分成了兩個(gè)等腰直角三角形。

我們知道，對(duì)于一個(gè)三角形，如果已知兩個(gè)邊的長(zhǎng)度和它們之間的夾角，可以使用三角函數(shù)求出第三邊的長(zhǎng)度。而對(duì)于一個(gè)直角三角形，我們可以使用勾股定理求出其斜邊的長(zhǎng)度。因此，對(duì)于一個(gè)正方形，我們可以利用勾股定理求出其對(duì)角線的長(zhǎng)度。

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)度為d，根據(jù)勾股定理可得：$d^2=a^2+a^2=2a^2$。因此，對(duì)角線的長(zhǎng)度可以表示為$d=\sqrt=a\sqrt$。

現(xiàn)在我們來(lái)推導(dǎo)正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度和面積之間的關(guān)系。由于正方形的對(duì)角線將其分成了兩個(gè)等腰直角三角形，因此可以得到每個(gè)三角形的面積為$S=\fraca^2$。由于正方形的面積等于其邊長(zhǎng)的平方，即$S=a^2$，因此正方形的面積可以表示為$S=2\times\fraca^2=a^2$。

接下來(lái)，我們利用三角形面積公式求出正方形的面積。由于每個(gè)等腰直角三角形的面積為$S=\fraca^2$，因此兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和為$S=2\times\fraca^2=a^2$。又因?yàn)檎叫蔚拿娣e等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和，因此可以得到正方形面積的公式：$S=a^2$。

現(xiàn)在我們可以利用對(duì)角線的長(zhǎng)度和面積的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出求正方形面積的公式。由于正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為$d=a\sqrt$，因此可以得到$a=\frac{\sqrt}$。將a的值代入正方形面積的公式$S=a^2$中，得到$S=\left(\frac{\sqrt}\right)^2=\frac$。因此，正方形對(duì)角線的平方除以2就是其面積，即$S=\frac$。

綜上所述，我們通過(guò)勾股定理和三角形面積公式，推導(dǎo)出了正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度和面積之間的關(guān)系，并得到了正方形對(duì)角線求面積的公式$S=\frac$。這個(gè)公式的應(yīng)用可以幫助我們更快地計(jì)算正方形的面積，提高計(jì)算效率。