矩陣是線性代數(shù)中非常重要的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它由若干行和若干列組成的矩形陣列所組成。在矩陣運(yùn)算中，轉(zhuǎn)置和乘法都是常見的運(yùn)算方式，而矩陣的轉(zhuǎn)置乘以矩陣本身等于什么呢？

假設(shè)我們有一個(gè) $n \times m$ 的矩陣 $A$，那么它的轉(zhuǎn)置矩陣 $A^T$ 就是一個(gè) $m \times n$ 的矩陣，它的每一行都等于原矩陣 $A$ 的每一列。接著，我們將 $A^T$ 乘以 $A$ 得到的結(jié)果就是一個(gè) $m \times m$ 的矩陣 $B$，即：

$$

B = A^TA

$$

那么，$B$ 矩陣有什么特殊的性質(zhì)呢？我們可以用矩陣的定義來證明：

$$

\begin

B_ &= \sum_^ (A^T)_A_ \\

&= \sum_^ A_A_

\end

$$

其中 $B_$ 表示矩陣 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$(A^T)_$ 表示 $A^T$ 矩陣的第 $i$ 行第 $k$ 列的元素，$A_$ 表示 $A$ 矩陣的第 $k$ 行第 $j$ 列的元素。

我們可以看到，$B_$ 的計(jì)算公式是將 $A$ 矩陣的第 $i$ 行和第 $j$ 行對應(yīng)元素的乘積相加，即：

$$

B_ = \sum_^ A_A_

$$

這個(gè)式子其實(shí)就是 $A$ 矩陣的列向量之間的內(nèi)積，因此 $B$ 矩陣其實(shí)就是 $A$ 矩陣列向量內(nèi)積的結(jié)果。而且，$B$ 矩陣還是一個(gè)對稱矩陣，即 $B_ = B_$，這是因?yàn)?$A$ 矩陣的列向量內(nèi)積是可交換的。

總結(jié)一下，矩陣 $A$ 的轉(zhuǎn)置乘以矩陣本身得到的矩陣 $B$ 是一個(gè)對稱矩陣，它的每個(gè)元素都是 $A$ 矩陣中列向量的內(nèi)積，即 $B_$ 等于 $A$ 矩陣的第 $i$ 列和第 $j$ 列對應(yīng)元素的乘積之和。這個(gè)性質(zhì)在很多應(yīng)用中都非常有用，比如在機(jī)器學(xué)習(xí)中的正則化問題中就會用到。