假設(shè)我們有兩個無限維空間，分別為$V_1$和$V_2$，我們希望證明它們的元素個數(shù)相同。

首先，我們需要明確一個概念，那就是“基”。在線性代數(shù)中，基是一個向量空間中最小的線性無關(guān)的向量組，它可以用來表示向量空間中的任何向量。因此，我們可以通過計算兩個空間的基中向量的個數(shù)來比較它們的元素個數(shù)。

假設(shè)$V_1$的基為$\$，$V_2$的基為$\$，那么我們需要證明這兩個基中向量的個數(shù)是相同的。

首先，我們可以嘗試構(gòu)造一個從$V_1$到$V_2$的線性變換。我們定義一個線性變換$T: V_1 \rightarrow V_2$，它將$V_1$中的基向量$v_i$映射到$V_2$中的基向量$w_i$，即$T(v_i) = w_i$。因為$T$是一個線性變換，所以它滿足線性性和同態(tài)性，即對于任意的向量$x, y \in V_1$和標量$k \in \mathbb$，有：

$$T(x + y) = T(x) + T(y)$$

$$T(kx) = kT(x)$$

$$T(0_) = 0_$$

然后我們可以證明$T$是一個一一對應(yīng)的映射。假設(shè)存在兩個不同的向量$x, y \in V_1$，使得$T(x) = T(y)$，那么我們有$T(x-y) = T(x) - T(y) = 0_$，因此$x-y$是$V_1$的零向量。由于$V_1$的基向量是線性無關(guān)的，因此$x = y$。因此，$T$是一個一一對應(yīng)的映射。

根據(jù)線性代數(shù)的基本定理，一一對應(yīng)的線性變換將向量空間的基映射為另一個向量空間的基。因此，$T$將$V_1$的基$\$映射為$V_2$的基$\$。由于$T$是一一對應(yīng)的，因此它保持了基向量的個數(shù)不變。因此，$V_1$的基向量的個數(shù)等于$V_2$的基向量的個數(shù)。

因此，我們證明了兩個無限維空間的元素個數(shù)相同。