等差數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列中每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大（或?。┫嗤囊粋€(gè)固定值，這個(gè)固定值被稱為公差。例如，2、4、6、8、10 就是一個(gè)公差為 2 的等差數(shù)列。

對(duì)于一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和可以用如下公式進(jìn)行求解：

Sn = n / 2 × (a1 + an)

其中，Sn 表示前 n 項(xiàng)的和，a1 表示第一項(xiàng)，an 表示第 n 項(xiàng)。

這個(gè)公式的推導(dǎo)可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明。首先，當(dāng) n = 1 時(shí)，等差數(shù)列的前一項(xiàng)就是它本身，因此公式成立。接著，假設(shè)公式對(duì)于 n = k 成立，即：

Sk = k / 2 × (a1 + ak)

其中，ak 表示等差數(shù)列的第 k 項(xiàng)。那么，當(dāng) n = k + 1 時(shí)，我們可以將它拆分成兩個(gè)部分：前 k 項(xiàng)的和 Sk 和第 k + 1 項(xiàng) ak+1。于是，有：

Sk+1 = Sk + ak+1

= k / 2 × (a1 + ak) + ak+1

= k / 2 × a1 + (k / 2 + 1) × d

其中，第二個(gè)等號(hào)使用了公式 Sk，第三個(gè)等號(hào)利用了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ak = a1 + (k - 1) × d。我們可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到：

Sk+1 = (k + 1) / 2 × (a1 + ak+1)

也就是說，公式對(duì)于 n = k + 1 時(shí)也成立。因此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，我們可以得到等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的通用公式：

Sn = n / 2 × (a1 + an)

這個(gè)公式在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，可以用來求解各種等差數(shù)列的問題，如求和、平均數(shù)等。