完備正交集是線性代數(shù)中非常重要的概念，它在向量空間的基礎(chǔ)理論中有廣泛的應(yīng)用。在本文中，我們將介紹完備正交集的概念和性質(zhì)。

首先，讓我們先來了解一下正交向量的概念。在向量空間中，如果兩個(gè)向量的內(nèi)積為0，則這兩個(gè)向量互相垂直，我們稱之為正交向量。例如，在二維平面上，向量(1,0)和(0,1)就是正交向量。

接下來，我們來了解一下完備正交集的概念。在向量空間中，如果存在一組向量，它們兩兩正交，并且這組向量可以生成整個(gè)向量空間，我們稱之為完備正交集。這個(gè)概念的意義在于，我們可以通過這組向量來表示向量空間中的任意向量。

那么，如何得到一個(gè)完備正交集呢？這里我們介紹一種常見的方法，即Gram-Schmidt正交化過程。該過程的思想是，對于給定的一組線性無關(guān)的向量，我們可以通過逐步正交化和歸一化的過程，得到一組正交的向量。具體來說，假設(shè)我們有一組線性無關(guān)的向量，我們可以按照以下步驟得到一組完備正交集：

1. 將v1歸一化，得到u1=v1/||v1||。

2. 對于i>1，計(jì)算出vi在u1,u2,...,ui-1張成的子空間中的投影，得到vi'。然后，令ui=vi-vi'，即ui是vi與u1,u2,...,ui-1垂直的向量。

3. 對于i=1,2,...,n，將ui歸一化，得到ui'=ui/||ui||。

最終，我們得到的一組向量就是完備正交集。

完備正交集的一個(gè)重要性質(zhì)是，它是線性無關(guān)的。因?yàn)槿绻嬖谝唤M不全為0的系數(shù)c1,c2,...,cn，使得c1u1'+c2u2'+...+cnun'=0，則這些向量不是線性無關(guān)的，與完備正交集的定義矛盾。

另外，完備正交集還具有一個(gè)重要的性質(zhì)，即它是向量空間的一組基。因?yàn)閷τ谌我庖粋€(gè)向量v，我們都可以表示為v=c1u1'+c2u2'+...+cnun'的形式，其中c1,c2,...,cn是標(biāo)量。這個(gè)表示方式叫做向量v在完備正交集下的坐標(biāo)。

總之，完備正交集是線性代數(shù)中非常重要的概念。通過Gram-Schmidt正交化過程，我們可以得到一組完備正交集，并且這組向量可以表示向量空間中的任意向量。同時(shí)，完備正交集還具有線性無關(guān)和基的性質(zhì)。