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一元三次方程根的關(guān)系

來源 :華課網(wǎng)校 2024-07-31 05:35:28

一元三次方程是數(shù)學(xué)中的一類重要的方程,在實際應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。它的一般形式為ax3 + bx2 + cx + d = 0(其中a≠0),它的解可以通過求解它的三個根來得到。

根據(jù)高中數(shù)學(xué)中的代數(shù)基本定理,任何一個次數(shù)為n的單項式方程都有恰好n個根。因此,一元三次方程也有三個根,它們可以是實數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。在實數(shù)范圍內(nèi),這三個根可以分為三種情況:三個實數(shù)根、一實根和一對共軛復(fù)根、三個不同的實數(shù)根。

對于一元三次方程的根,有許多有趣的性質(zhì)。例如,它們之間存在一些關(guān)系,這些關(guān)系可以幫助我們更好地理解這些根的性質(zhì)。其中一個比較重要的關(guān)系是Vieta定理,它是由法國數(shù)學(xué)家弗雅塔(Fran?ois Viète)在16世紀(jì)提出的。

Vieta定理指出,對于一元三次方程ax3 + bx2 + cx + d = 0,它的三個根x1、x2、x3之間有如下關(guān)系:

x1 + x2 + x3 = -b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = -d/a

其中,b、c、d分別是該方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項系數(shù)。

Vieta定理的證明使用了代數(shù)基本定理和配方法,比較復(fù)雜。但是,我們可以通過實際例子來理解這個定理。例如,對于方程x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0,它的三個根分別為1、2和3。根據(jù)Vieta定理,我們可以得到:

1 + 2 + 3 = -(-6/1) = 6

1×2 + 1×3 + 2×3 = 11/1

1×2×3 = 6/1

這些關(guān)系可以幫助我們更好地理解一元三次方程的根之間的關(guān)系,以及如何通過已知的一些根來求解未知根。同時,它們也為我們解決實際問題提供了一些思路和方法。

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