二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，常用符號(hào)為$\binom$，表示從$n$個(gè)不同元素中選出$k$個(gè)元素的組合數(shù)。

二項(xiàng)式系數(shù)具有以下性質(zhì)：

1. 對(duì)稱性：$\binom=\binom$。這是因?yàn)閺?n$個(gè)不同元素中選出$k$個(gè)元素，等價(jià)于從$n$個(gè)不同元素中選出$n-k$個(gè)元素。

2. 母函數(shù)性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)式定理的系數(shù)，即$(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^k$。這個(gè)定理的證明可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行。

3. 遞推關(guān)系：$\binom=\binom+\binom$，即從$n$個(gè)不同元素中選出$k$個(gè)元素，可以分為兩種情況：選第$n$個(gè)元素和不選第$n$個(gè)元素。如果選第$n$個(gè)元素，那么剩下的$n-1$個(gè)元素中選$k-1$個(gè)元素；如果不選第$n$個(gè)元素，那么剩下的$n-1$個(gè)元素中選$k$個(gè)元素。

4. 對(duì)組合恒等式的應(yīng)用：二項(xiàng)式系數(shù)可以用來證明許多組合恒等式，例如：$\sum_^n\binom=\binom$，$\sum_^n\binom\binom=\binom$等等。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是組合數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，深入理解這些性質(zhì)可以幫助我們更好地掌握組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。