等比數(shù)列是指數(shù)列中每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比相等的數(shù)列。在數(shù)列求和中，等比數(shù)列也有其特殊的求和公式。

對(duì)于一個(gè)等比數(shù)列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，如果其首項(xiàng)為 $a_1$，公比為 $q$，那么它的求和公式如下：

$$S_n = \frac$$

其中，$S_n$ 表示數(shù)列前 $n$ 項(xiàng)和。

上述公式的推導(dǎo)過程可以通過數(shù)學(xué)歸納法證明。首先，當(dāng) $n=1$ 時(shí)，顯然有 $S_1=a_1$。接下來，假設(shè)當(dāng) $n=k$ 時(shí)公式成立，即：

$$S_k = \frac$$

那么當(dāng) $n=k+1$ 時(shí)，有：

\begin

S_ &= S_k + a_ \\

&= \frac + a_ \\

&= \frac{a_1(1-q^k)+a_(1-q)}

\end

根據(jù)等比數(shù)列的定義，有 $a_=a_kq$，將其代入上式得：

\begin

S_ &= \frac \\

&= \frac{a_1(1-q^)}

\end

因此，得證了公式對(duì)于任意 $n$ 都成立。

除了上述公式外，還有一種常用的等比數(shù)列求和公式，即：

$$S_\infty = \frac$$

其中，$S_\infty$ 表示數(shù)列的無窮級(jí)數(shù)和。

這個(gè)公式的推導(dǎo)過程比較簡單，可以通過以下方法得到。首先，將等比數(shù)列的前 $n$ 項(xiàng)求和，得到：

$$S_n = \frac$$

然后，當(dāng) $n$ 趨近于無窮大時(shí)，$q^n$ 的值會(huì)趨近于 $0$，因此有：

$$\lim_ S_n = \lim_ \frac = \frac$$

因此，得證了無窮級(jí)數(shù)和公式的正確性。

綜上所述，等比數(shù)列的求和公式包括了有限項(xiàng)求和公式和無窮級(jí)數(shù)和公式。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)問題的不同，可以選擇適合的公式進(jìn)行求解。