在數(shù)學(xué)中，函數(shù)收斂是一個非常重要的概念。在研究函數(shù)收斂的時候，一個問題經(jīng)常被人們所關(guān)注：函數(shù)收斂一定有界嗎？

首先，讓我們來回顧一下收斂的定義。在數(shù)學(xué)中，如果一個函數(shù)$f(x)$在$x\rightarrow a$的時候趨近于一個常數(shù)$L$，那么我們稱$f(x)$在$x\rightarrow a$的時候收斂于$L$。數(shù)學(xué)符號表示為：

$$\lim_f(x)=L$$

那么，函數(shù)收斂一定有界嗎？答案是肯定的。下面是證明過程：

假設(shè)一個函數(shù)$f(x)$在$x\rightarrow a$的時候收斂于$L$，但是$f(x)$在$x_1$和$x_2$之間沒有界。也就是說，對于任意的$M$，都存在$x_1$和$x_2$，使得$|f(x_1)|>M$且$|f(x_2)|>M$。

由于$f(x)$在$x\rightarrow a$的時候收斂于$L$，因此，對于任意的$\epsilon>0$，都存在一個$\delta>0$，使得當(dāng)$|x-a|<\delta$時，$|f(x)-L|<\epsilon$。

取$\epsilon=\frac$，那么就存在一個$\delta$，使得當(dāng)$|x-a|<\delta$時，$|f(x)-L|<\frac$。也就是說，$|f(x)-L|>\frac$時，$|x-a|>\delta$。

但是，由于$f(x)$在$x_1$和$x_2$之間沒有界，因此，一定存在一個$x_3$，使得$|x_3-a|<\delta$且$|f(x_3)|>M$。那么，$|f(x_3)-L|>\frac$，與$f(x)$在$x\rightarrow a$的時候收斂于$L$矛盾。因此，假設(shè)不成立，函數(shù)收斂一定有界。

綜上所述，函數(shù)收斂一定有界。這個結(jié)論在數(shù)學(xué)分析中非常重要，它保證了我們在研究函數(shù)的極限性質(zhì)的時候，不需要考慮函數(shù)是否無界的情況。